Аксиома объёмности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аксиомой объёмности называется следующее высказывание теории множеств:

Если переписать аксиому объёмности в виде

,

тогда названную аксиому можно сформулировать следующим образом:

«Каковы бы ни были два множества, если каждый элемент 1-го множества принадлежит 2-му множеству, а каждый элемент 2-го множества принадлежит 1-му множеству, тогда первое множество идентично второму множеству.»

Другие формулировки аксиомы объёмности

[править | править код]

Примечания

[править | править код]

Аксиома объёмности выражает достаточное условие равенства двух множеств. Необходимое условие равенства множеств выводится из аксиом предиката , а именно:

,
, где  — любое математически корректное суждение об , а  — то же самое суждение, но об .

Соединяя указанное достаточное условие равенства множеств с аксиомой объёмности, получаем следующий критерий равенства множеств:

Указанный критерий равенства множеств не хуже и не лучше других аналогичных критериев, включая:

1) критерий равенства комплексных чисел

,

2) критерий равенства упорядоченных пар

,

3) критерий равенства неупорядоченных пар

,

4) критерий равенства двух последовательностей

.

Из изложенного ясно, что аксиома объёмности является органичной частью аксиоматики теории множеств.

Аксиому объёмности применяют при доказательстве единственности множества, существование которого уже декларировано аксиомой, либо установлено доказательством теоремы.

Примеры

1. Доказательство единственности пустого множества

Существование [по меньшей мере одного] пустого множества декларировано аксиомой

.

Требуется доказать существование не более, чем одного множества , для которого верно высказывание

.

Иначе говоря, требуется доказать

Или, что то же самое, требуется доказать

Доказательство

Поскольку , постольку доказательство единственности пустого множества завершено.

2. Доказательство единственности множества подмножеств

Существование [по меньшей мере одного] множества подмножеств декларировано аксиомой

Требуется доказать существование не более, чем одного множества , для которого верно высказывание

Иначе говоря, требуется доказать

Или, что то же самое, требуется доказать

Доказательство

Поскольку , постольку доказательство единственности множества подмножеств завершено.


Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]