Алгоритм Манакера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Алгоритм Манакера
Предназначение Поиск подпалиндромов
Структура данных Строка
Худшее время
Затраты памяти

Алгоритм Манакера (англ. Manacher's algorithm) — алгоритм с линейным временем работы, позволяющий получить в сжатом виде информацию обо всех палиндромных подстроках заданной строки. Предложен Гленном Манакером в 1975 году. Изначальной задачей, решаемой алгоритмом, был поиск наименьшего префикс-палиндрома заданной строки, однако получаемая в результате работы алгоритма структура позволяет решать и более общие задачи. Так, Манакером было продемонстрировано, что алгоритм позволяет проверить, может ли строка быть представлена в виде , где  — некоторая строка,  — её обращение. В 1995 году Апостолико, Бреслауэр и Галил указали на то, что, по своему построению, алгоритм Манакера не только находит кратчайший префикс-палиндром, но также позволяет найти максимальные радиусы палиндромов для каждого возможного центра палиндромной подстроки.

Постановка задачи

[править | править код]
  • Пусть  — некоторая строка. Её обращением называется строка , составленная из тех же символов, но записанных в обратном порядке.
  • Строка называется палиндромом если , то есть если она одинаково читается слева направо и справа налево.
  • Палиндром называется чётным если имеет чётную длину и нечётным в противном случае. Любой чётный палиндром имеет вид , а нечётный имеет вид , где  — произвольный символ.
  • У строки есть чётный палиндром радиуса с центром в позиции если для . Соответственно, у строки есть нечётный палиндром радиуса с центром в если для .
  • Радиус называется максимальным для позиции если у строки нет палиндрома с радиусом с центром в той же позиции.

Алгоритм Манакера позволяет за линейное время найти максимальные радиусы чётных и нечётных палиндромов в каждой позиции строки .

Реализация

[править | править код]

Ниже приведена реализация алгоритма на Python.

def manacher_odd(s):
    s = '$' + s + '^'
    n = len(s)
    res = [0] * n
    l = 0
    r = 0
    for i in range(1, n - 1):
        res[i] = max(0, min(r - i, res[l + (r - i)]))
        while s[i - res[i]] == s[i + res[i]]:
            res[i] += 1
        if i + res[i] > r:
            l = i - res[i]
            r = i + res[i]
    return res[1:-1]

def manacher(s):
    res = manacher_odd('#' + '#'.join(s) + '#')[1:-1]
    return ([x // 2 for x in res[::2]], [x // 2 for x in res[1::2]])

Функция manacher_odd возвращает массив Манакера для палиндромов нечётной длины, функция manacher возвращает пару из массивов Манакера для палиндромов нечётной и чётной длины соответственно, сводя вычисление массива для чётных длин к нечётному случаю путём добавления служебного символа #.

Литература

[править | править код]