Болотов, Евгений Александрович

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Евгений Александрович Болотов
Дата рождения 1870
Место рождения
Дата смерти 13 сентября 1922(1922-09-13)
Место смерти
Страна
Род деятельности учёный
Научная сфера аналитическая механика
Место работы Московское техническое училище,
Казанский университет
Альма-матер Казанский университет (1887)
Учёная степень профессор
Известен как ректор Казанского университета

Евгений Александрович Болотов (1870, Казань — 28 сентября 1922, Москва) — русский учёный-механик, профессор.

Родился в 1870 году в Казани в семье архитектора Александра Андреевича Болотова. Окончил с золотой медалью Первую казанскую гимназию, а в 1887 году с дипломом первой степени — математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета[1].

В 1896 году стал приват-доцентом Московского университета по кафедре прикладной математики, которую тогда возглавлял Н. Е. Жуковский[2].

В период с 1900 по 1914 годы преподавал в Императорском Московском техническом училище. В 1907 году Болотова утвердили в степени магистра прикладной математики за работу «О движении материальной плоской фигуры, стеснённой связями с трением». Сохранился отзыв Н. Е. Жуковского на эту работу, где отмечалось, что главная заслуга её автора — геометрический анализ, позволивший до конца разъяснить все механические аспекты движения материальной площадки[3].

В 1909—1910 годах Болотов читал в Московском техническом училище курс теории упругости (его лекции были стенографированы и подготовлены к печати В. П. Ветчинкиным, но так и не были изданы). Им были написаны учебные руководства по курсам математического анализа (изданы в 1912 году) и аналитической геометрии, читавшиеся много лет. Одновременно, он вёл упражнения по курсу теоретической и аналитической механики, читавшемуся Н. Е. Жуковским[4].

Жуковский высоко оценивал лекторское мастерство Болотова[5]:

… Его (Е. А. Болотова) блестящие лекторские способности с удовольствием вспоминаются его благодарными учениками по техническому училищу. Он умел всегда в самой простой форме указать на суть разбираемой задачи. Его учёные работы «Задача о разложении данного винта», «О движении материальной плоской фигуры со связями с трением», «О теореме Гаусса» отличаются простотой изложения и оригинальностью мысли. Вторая работа была представлена на магистерскую диссертацию в Московском университете и послужила к разъяснению многих парадоксов в вопросе динамики с трением. Наконец, его последнее сочинение о некотором приложении теоремы Гаусса могло быть принято как докторская диссертация…

В 1914 году по рекомендациям профессоров А. П. Котельникова, Д. И. Дубяго, Д. А. Гольдгаммера, Н. Н. Парфентьева Болотов был приглашён в Императорский Казанский университет заведующим кафедрой теоретической и практической механики[6]. С этого времени вплоть до 1921 года он — ординарный профессор Казанского университета.

В 1917 году Е. А. Болотов был утверждён проректором Казанского университета; 19 октября 1918 года избран, а 12 ноября утверждён в должности ректора Казанского университета. Выбыл из состава профессоров 1 января 1919 года, сложив с себя полномочия ректора; однако (после нового избрания Болотова в феврале профессором по кафедре механики) он 22 февраля этого года вновь был избран на должность ректора.

22 января 1921 года вышел в отставку с должности ректора Казанского университета. В том же году (после того, как 17 марта 1921 года умер Н. Е. Жуковский, заведовавший в Московском высшем техническом училище кафедрой теоретической механики) Е. А. Болотова вновь пригласили в МВТУ — возглавить эту кафедру. Болотов согласился и 15 декабря 1921 года был избран профессором по кафедре теоретической механики, но заведовал ей меньше года: 28 сентября 1922 года он скончался. Похоронен на Лазаревском кладбище[7].

Научная деятельность

[править | править код]

Научные исследования Е. А. Болотова посвящены различным разделам теоретической и аналитической механики. Вкладом в теорию винтов стала[8] его первая научная работа — статья 1893 года, в которой он решал задачу о разложении заданного винта на два винта с одинаковыми параметрами. Интерес представляют также[4] работы Е. А. Болотова в области гидромеханики, в которых исследовались движение тяжёлой несжимаемой жидкости и влияние ветра на скорость распространения малых волн по поверхности жидкости[2].

Важнейшее место в научном наследии Е. А. Болотова занимает его статья «О принципе Гаусса», изданная в 1916 г. в Казани и представляющая собой[9] монографию, посвящённую тщательному логическому анализу наиболее общего из дифференциальных вариационных принципов механики — принципа наименьшего принуждения Гаусса и ряда его обобщений. В этой работе, высоко оценённой Н. Е. Жуковским, Болотов обобщил принцип Гаусса на случай освобождения механической системы от части связей — позднее это направление исследований продолжили другие представители казанской школы механиков: Н. Г. Четаев, М. Ш. Аминов и др.[4]

Как известно[10], принцип наименьшего принуждения позволяет для каждого момента времени выделять действительное движение среди всех кинематически осуществимых её движений, то есть движений, допускаемых наложенными на систему связями (текущее состояние системы предполагается фиксированным; реализовать такие движения можно, изменив приложенные к системе активные силы[11]. Современная формулировка принципа Гаусса применительно к системе материальных точек такова[12][13]: В каждый момент времени действительное движение механической системы с идеальными связями выделяется среди всех её кинематически осуществимых движений тем, что для него значение принуждения

минимально. Здесь  — число точек, входящих в систему,  — масса -й точки,  — равнодействующая приложенных к ней активных сил,  — ускорение данной точки в кинематически осуществимом движении системы.

Поскольку в силу II закона Ньютона вектор есть ускорение -й точки освобождённой от всех связей системы, выражению для принуждения можно придать вид

разность, стоящая в скобках, есть составляющая вектора ускорения -й точки, вызванная действием связей. Именно они и принуждают систему со связями отклоняться от движения, свойственного освобождённой системе[14].

Рассмотрим, следуя Болотову, ряд обобщений принципа Гаусса.

Принцип Гаусса в форме Маха — Болотова

[править | править код]

В 1883 г. Э. Мах, рассматривавший (как и сам Гаусс) лишь системы с двусторонними голономными связями, сформулировал[15] (без доказательства) следующее обобщение принципа Гаусса: его утверждение останется справедливым, если применить не полное, а частичное освобождение от связей[16][17]. Выражение для принуждения при этом остаётся неизменным, но роль векторов в нём будут играть уже ускорения точек системы в движении, ограниченном меньшим числом связей[9][18].

Е. А. Болотов строго доказал указанное обобщение принципа Гаусса, распространив его[9] на случай наличия неголономных связей, линейных по скоростям. При этом он первым указал на необходимость строгого определения понятия возможного перемещения при применении дифференциальных вариационных принципов механики к неголономным системам. Позднее Н. Г. Четаев в 1932—1933 гг. дал[19] для понятия возможного перемещения новое (аксиоматическое) определение и показал, что принцип наименьшего принуждения в форме Маха — Болотова применим и для нелинейных неголономных систем[20][17].

Рассмотренное обобщение принципа Гаусса представляет значительный практический интерес. Например, оно используется при компьютерном моделировании динамики систем твёрдых тел[21], когда при вычислении принуждения (которое минимизируется методами математического программирования) отбрасывают связи между телами системы, но не связи между точками, входящими в состав каждого из тел. Данное обобщение излагается в ряде учебников теоретической механики[22].

Принцип Гаусса в форме Больцмана — Болотова

[править | править код]

Идею дальнейшего обобщения принципа Гаусса выдвинул[23] в 1897 г. Л. Больцман. Он указал, что при наличии односторонних связей утверждение данного принципа останется справедливым, если применить частичное освобождение от связей, отбрасывая все односторонние связи и произвольное число связей двусторонних[17]; однако приведённое Больцманом обоснование выдвинутого им положения ясностью не отличалось и вызвало ряд упрёков[24].

Болотов строго доказал и это обобщение принципа Гаусса (именуемое ныне[25] принципом наименьшего принуждения в форме Больцмана — Болотова), сделав при этом важное для практического использования принципа замечание.

Чтобы сформулировать его, запишем (предполагая, что ограничения, налагаемые на скорости точек односторонними связями, выполнены в виде равенств; те связи, которые ослаблены по скоростям, вообще никак не ограничивают в текущий момент времени движение точек системы) условия, налагаемые соответственно двусторонними и односторонними связями на ускорения точек:

здесь  — число двусторонних, а  — число односторонних связей; неотрицательные скаляры , называемые ускорениями ослабления связей, имеют[26] вид:

где величины и зависят от состояния и времени, а при минимизации принуждения являются константами; круглые скобки обозначают скалярное произведение трёхмерных векторов.

Суть упомянутого замечания Болотова состоит в том, что при минимизации принуждения следует рассматривать среди всех кинематически осуществимых движений лишь те, для которых ускорения ослабления каждой из односторонних связей не меньше ускорений их ослабления в действительном движении[27].

Порядок применения обобщённого принципа Гаусса к задачам с односторонними связями Болотов иллюстрирует[28] применительно к задаче о движении весомого однородного стержня, у которого конец опирается на гладкую горизонтальную плоскость , а конец может скользить по линии пересечения двух других гладких плоскостей и , перпендикулярных первой плоскости и друг другу. Болотов проводит полный анализ данной задачи и определяет условия, при которых тот или иной конец стержня отрывается от плоскости, на которую он опирался. Данная задача интересна тем, что применительно к ней даёт неверные результаты метод выявления ослабляемой связи, предложенный в 1838 г. М. В. Остроградским в мемуаре «О мгновенных перемещениях систем, подчинённых переменным условиям»[29]; ошибку в рассуждениях Остроградского нашёл в 1889 г. А. Майер[30].

В 1990 году В. А. Синицын получил ещё одну форму принципа Гаусса[31], в которой (при надлежащих ограничениях на рассматриваемые кинематически осуществимые движения) допускается освобождение системы не от всех (как у Болотова), а лишь от части односторонних связей[17][32].

Принцип Гаусса в теории удара

[править | править код]

Е. А. Болотов показал, что обобщённый принцип Гаусса применим также и к ряду задач теории удара, но эти его результаты носят менее общий характер, причём он ограничивается лишь случаем абсолютно неупругого удара. Иллюстрирует свой метод Болотов на уже упоминавшейся задаче о весомом однородном стержне (предполагая, что к центру масс стержня прикладывается заданный ударный импульс)[33].

Публикации

[править | править код]
  • Болотов Е. А.  Задача о разложении данного винта на два винта с равными параметрами // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те, Сер. 2. — 1893. — Т. 3.
  • Болотов Е. А.  О принципе Гаусса // Изв. физ.-мат. общества при Казанском ун-те. — 1916. — С. 99—152.

Примечания

[править | править код]
  1. Клоков, 2009, с. 114—115.
  2. 1 2 Клоков, 2009, с. 115.
  3. Кафедра «Теоретическая механика», 2003, с. 40—41.
  4. 1 2 3 Кафедра «Теоретическая механика», 2003, с. 41.
  5. Кафедра «Теоретическая механика», 2003, с. 42.
  6. Клоков, 2009, с. 114.
  7. Некролог // Известия (газета). — 29 сентября 1922, № 219. — с. 4.
  8. Диментберг Ф. М.  Теория винтов и её приложения. — М.: Наука, 1978. — 328 с. — С. 14.
  9. 1 2 3 История механики в России, 1987, с. 297.
  10. Румянцев В. В. Вариационные принципы классической механики // Математическая энциклопедия. Т. 1. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — 1152 стб. — Стб. 596—603.
  11. Кильчевский, 1977, с. 18.
  12. Дронг В. И., Дубинин В. В., Ильин М. М. и др.  Курс теоретической механики / Под ред. К. С. Колесникова. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011. — 758 с. — ISBN 978-5-7038-3490-9.. — С. 526.
  13. Маркеев А. П.  Теоретическая механика. — М.: Наука, 1990. — 416 с. — ISBN 5-02-014016-3.. — С. 89—90.
  14. Кильчевский, 1977, с. 188.
  15. Mach E.  Die Mechanik in ihren Entstehung historischkritisch dargestellt. — Leipzig, 1883.
  16. Берёзкин, 1974, с. 528.
  17. 1 2 3 4 Маркеев, 2000, с. 43.
  18. Веретенников, Синицын, 2006, с. 256.
  19. Четаев Н. Г. О принципе Гаусса // Изв. Физ.-матем. об-ва при Казан. ун-те. Сер. 3. 1932—1933. Т. 6. — С. 68—71.
  20. Берёзкин, 1974, с. 524.
  21. Верещагин А. Ф.  Принцип Гаусса наименьшего принуждения в динамике исполнительных механизмов роботов // Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. Л.  Манипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. — М.: Наука, 1978. — 400 с. — С. 77—102.
  22. Берёзкин, 1974, с. 526—528.
  23. Boltzmann L.  Vorlesungen über die Principien der Mechanik. — Leipzig, 1897.
  24. Веретенников, Синицын, 2006, с. 250—251.
  25. Веретенников, Синицын, 2006, с. 250.
  26. Теоретическая механика. Вывод и анализ…, 1990, с. 61.
  27. Веретенников, Синицын, 2006, с. 253.
  28. Теоретическая механика. Вывод и анализ…, 1990, с. 65—66.
  29. Ostrogradsky M. V. Mémoire sur les déplacements instantanés des systèmes assujettis à des conditions variables // Mémoires de l’Académie des sciences de St.-Pétersbourg. VI sér., sciences math., phys. et nat., 1, 1838. — P. 565—600.
  30. Погребысский И. Б.  От Лагранжа к Эйнштейну: Классическая механика XIX века. — М.: Наука, 1964. — 327 с. — С. 245—246.
  31. Синицын В. А. О принципе наименьшего принуждения для систем с неудерживающими связями // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 6. — С. 920—925.
  32. Веретенников, Синицын, 2006, с. 256—258.
  33. Веретенников, Синицын, 2006, с. 267—270.

Литература

[править | править код]