Круг сходимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Круг сходимости[1] степенного ряда — это круг вида

, ,

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при , расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в множество, состоящее из одной точки , когда , и может совпадать со всей плоскостью переменного , когда .

Радиус сходимости

[править | править код]

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости[1] ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Теорема Островского — Адамара

[править | править код]

Для степенного ряда

,

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов удовлетворяет

для некоторого фиксированного , круг с центром и радиусом, равным радиусу сходимости, является естественной границей — аналитическое продолжение функции, определяемой таким рядом, невозможно за пределы круга.

Литература

[править | править код]
  1. 1 2 Фихтенгольц Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления — 2 том. — 8. — Москва: Физматлит, 2001-. — С. 557. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.