Лемма Морса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Формулировка

[править | править код]

Пусть  — функция класса , где , имеющая точку своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал обращается в нуль, а гессиан отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки существует такая система -гладких локальных координат (карта) с началом в точке , что для всех имеет место равенство[1]

.

При этом число , определяемое сигнатурой квадратичной части ростка в точке , называется индексом критической точки данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Теорема Тужрона

[править | править код]

В окрестности критической точки конечной кратности существует система координат, в которой гладкая функция имеет вид многочлена степени (в качестве можно взять многочлен Тейлора функции в точке в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность , и теорема Тужрона превращается в лемму Морса[1][2].

Лемма Морса с параметрами

[править | править код]

Пусть  — гладкая функция, имеющая начало координат своей критической точкой, невырожденной по переменным . Тогда в окрестности точки существуют гладкие координаты, в которых

где  — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)[1].

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом[1].

О доказательствах

[править | править код]

Обычно доказывается прямым построением диффеоморфизма[3]. Более концептуальное доказательство использует трюк Мозера[4].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 3 4 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
  2. Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.
  3. Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.
  4. Palais, Richard S. "The Morse lemma for Banach spaces." Bulletin of the American Mathematical Society 75.5 (1969): 968-971.

Литература

[править | править код]
  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. — М.: МЦНМО, 2009. — 672 с. — ISBN 978-5-94057-456-9.
  • Хирш М. Дифференциальная топология / Пер. с англ. Д.Б. Фукса.. — М.: Мир, 1979. — 279 с.
  • Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.