Матрицы Паули

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ма́трицы Па́ули — это набор из трёх эрмитовых и одновременно унитарных 2×2 матриц, составляющий базис в пространстве всех эрмитовых 2×2 матриц с нулевым следом. Были предложены Вольфгангом Паули для описания спина электрона в квантовой механике. Матрицы имеют вид

Вместо иногда используют обозначение и .

Часто также употребляют матрицу

совпадающую с единичной матрицей , которую также иногда обозначают как .

Матрицы Паули вместе с матрицей образуют базис в пространстве всех эрмитовых матриц 2×2 (а не только матриц с нулевым следом).

Основные соотношения

[править | править код]
  • Эрмитовость: .
  • Равенство нулю следа: .
  • где  — единичная матрица размерности 2×2.
  • Унитарность: .
  • Определитель матриц Паули равен −1.
  • Алгебра, порождённая элементами , изоморфна алгебре кватернионов .

Правила умножения матриц Паули:

для

Эти правила умножения можно переписать в компактной форме

,

где  — символ Кронекера, а  — символ Леви-Чивиты.

Из этих правил умножения следуют коммутационные соотношения

Квадратные скобки означают коммутатор, фигурные — антикоммутатор.

Также для матриц Паули выполняются тождества Фирца.

Выражения для следов произведения матриц Паули

Из выражения для умножения матриц Паули следуют также следующие соотношения:

  • , где — вектор из матриц Паули, — произвольный вектор,

а также формулы для матричных экспонент и их следов:

Связь с алгебрами Ли

[править | править код]

Коммутационные соотношения матриц совпадают с коммутационными соотношениями генераторов универсальной обёртывающей алгебры алгебры Ли su(2). И действительно, вся эта обёртывающая алгебра может быть построена из произвольных линейных комбинаций конечных произведений матриц [Слово "генераторы" ведёт своё происхождение из терминологии математики 19-го века: тогда любили говорить о "генераторах и отношениях" алгебраической структуры, так как, не имея теории множеств, математики определяли такие структуры часто "изнутри", а не "снаружи". В случае матриц Паули идеал, по которому факторизуется тензорная алгебра алгебры Ли (соответствующая фактор-алгебра и есть универсальная обёртывающая алгебра алгебры Ли), определяется "отношениями", которыми собственно и служат коммутационные соотношения матриц. Универсальные обёртывающие алгебры особенно полезны для нематричных алгебр Ли, так как скобка Ли, являющаяся примитивным понятием алгебры Ли (а произведений в алгебре Ли в общем случае нет), вкладывается в ассоциативную обёртывающую алгебру, имеющую произведения, в виде коммутатора.] Группа SU(2) с алгеброй su(2) локально изоморфна группе SO(3) вращений трёхмерного пространства, будучи её универсальной накрывающей группой; в частности этим объясняется важность матриц Паули для физики.

Применение в физике

[править | править код]

В квантовой механике матрицы − представляют собой генераторы инфинитезимальных вращений для нерелятивистских частиц со спином ½. Элементы матрицы спинового оператора для частиц с полуцелым спином выражаются через матрицы Паули[1] как

Вектор состояния таких частиц представляет собой двухкомпонентный спинор[2]. Двухкомпонентные спиноры образуют пространство фундаментального представления группы SU(2).

Примечания

[править | править код]
  1. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 55. Оператор спина // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.
  2. Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. § 56. Спиноры // Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — С. 258. — 808 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0057-2.

Литература

[править | править код]