Область главных идеалов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).

Элементы кольца главных идеалов в некотором смысле похожи на числа: для любого элемента существует единственное разложение на простые, для любых двух элементов существует наибольший общий делитель.

Области главных идеалов можно указать на следующей цепочке включений:

Коммутативные кольца  Области целостности  Факториальные кольца  Области главных идеалов  Евклидовы кольца  Поля

Кроме того, все области главных идеалов являются нётеровыми и дедекиндовыми кольцами.

Примеры целостных колец, не являющихся кольцами главных идеалов:

  •  — кольцо многочленов с целыми коэффициентами (идеал нельзя породить одним многочленом)
  • Кольцо многочленов от двух переменных (идеал не является главным)

Основной результат здесь — следующая теорема: если  — область главных идеалов и  — конечнопорожденный модуль над , то разлагается в прямую сумму циклических модулей, то есть модулей, порожденных одним элементом. Поскольку существует сюръективный гомоморфизм из в циклический модуль над ним (отправляющий единицу в генератор), по теореме о гомоморфизме любой циклический модуль имеет вид для некоторого .

В частности, любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен. Это неверно для произвольных колец, в качестве контрпримера можно привести вложение -модулей

Литература

[править | править код]
  • Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
  • Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
  • Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1