У этого термина существуют и другие значения, см.
Производная .
Данная статья описывает производные вещественных функций. О производной комплексных функций см. Комплексный анализ .
Иллюстрация понятия производной
Произво́дная функции — понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (при условии, что такой предел существует). Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием .
Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование .
В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятие предела , однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Исторически производная вводилась кинематически (как скорость) или геометрически (определяясь по сути наклоном касательной, в разных конкретных формулировках). Ньютон называл производную флюксией , обозначая точкой над символом функции, школа Лейбница предпочитала в качестве базового понятия дифференциал [1] .
Русский термин в форме «производная функция» впервые употребил В. И. Висковатов , переведя на русский язык соответствующий французский термин dérivée , используемый французским математиком Лагранжем [2] .
Пусть в некоторой окрестности точки
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
определена функция
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
→
R
.
{\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
Производной функции называется такое число
A
{\displaystyle A}
, что функцию в окрестности
U
(
x
0
)
{\displaystyle U(x_{0})}
можно представить в виде
f
(
x
0
+
h
)
=
f
(
x
0
)
+
A
h
+
o
(
h
)
,
h
→
0
{\displaystyle f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h),h\rightarrow 0}
если
A
{\displaystyle A}
существует.
Пусть в некоторой окрестности точки
x
0
∈
R
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }
определена функция
f
:
U
(
x
0
)
⊂
R
→
R
.
{\displaystyle f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .}
Производной функции
f
{\displaystyle f}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
называется предел , если он существует,
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
f
(
x
)
Δ
x
.
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}.}
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 [ править | править код ]
f
′
(
x
0
)
=
f
x
′
(
x
0
)
=
D
f
(
x
0
)
=
d
f
d
x
(
x
0
)
=
d
y
d
x
|
x
=
x
0
=
y
˙
(
x
0
)
.
{\displaystyle f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).}
Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике и физике, исторически часто тоже).
Производные степенных функций
Производные тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций
Производные гиперболических функций
(
c
o
n
s
t
)
(
n
)
=
0
{\displaystyle \left(const\right)^{(n)}=0}
(
sin
x
)
(
n
)
=
sin
(
x
+
π
n
2
)
{\displaystyle \left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2}})}
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle \left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
sinh
x
)
′
=
cosh
x
{\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x}
(
x
a
)
(
n
)
=
a
!
(
a
−
n
)
!
x
a
−
n
{\displaystyle \left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(a-n)!}}x^{a-n}}
(
cos
x
)
(
n
)
=
cos
(
x
+
π
n
2
)
{\displaystyle \left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2}})}
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle \left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(
cosh
x
)
′
=
sinh
x
{\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}
(
a
x
)
(
n
)
=
a
x
ln
n
a
{\displaystyle \left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a}
(
tg
x
)
′
=
sec
2
x
{\displaystyle \left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x}
(
arctg
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle \left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}
(
tanh
x
)
′
=
sch
2
x
{\displaystyle (\tanh x)'=\operatorname {sch} ^{2}x}
(
e
x
)
(
n
)
=
e
x
{\displaystyle \left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}}
(
ctg
x
)
′
=
−
csc
2
x
{\displaystyle \left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x}
(
arcctg
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle \left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}}
(
coth
x
)
′
=
−
csch
2
x
{\displaystyle (\coth x)'=-\operatorname {csch} ^{2}x}
(
log
a
x
)
(
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
x
n
ln
a
{\displaystyle \left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}\ln a}}}
(
sec
x
)
′
=
sec
x
⋅
t
g
x
{\displaystyle \left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x}
(
arcsec
x
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle \left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
(
s
c
h
x
)
′
=
−
sinh
x
cosh
2
x
{\displaystyle (\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x}}}
(
ln
x
)
(
n
)
=
(
−
1
)
n
−
1
(
n
−
1
)
!
x
n
{\displaystyle (\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}}}
(
cosec
x
)
′
=
−
c
o
s
e
c
x
⋅
c
t
g
x
{\displaystyle \left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x}
(
arccosec
x
)
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle \left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
(
c
s
c
h
x
)
′
=
−
cosh
x
sinh
2
x
{\displaystyle (\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x}}}
Производная
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
функции
f
{\displaystyle f}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция
f
{\displaystyle f}
является дифференцируемой в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:
f
∈
D
(
x
0
)
⇔
∃
f
′
(
x
0
)
∈
(
−
∞
;
∞
)
.
{\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).}
Для дифференцируемой в
x
0
{\displaystyle x_{0}}
функции
f
{\displaystyle f}
в окрестности
U
(
x
0
)
{\displaystyle U(x_{0})}
справедливо представление
f
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
o
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})}
при
x
→
x
0
.
{\displaystyle x\to x_{0}.}
Назовём
Δ
x
=
x
−
x
0
{\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}
приращением аргумента функции, а
Δ
y
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \Delta y=f(x)-f(x_{0})}
или
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
{\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}
приращением значения функции в точке
x
0
.
{\displaystyle x_{0}.}
Тогда
f
′
(
x
0
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
f
Δ
x
.
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}.}
Пусть функция
f
:
(
a
,
b
)
→
R
{\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} }
имеет конечную производную в каждой точке
x
0
∈
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle x_{0}\in (a,b).}
Тогда определена произво́дная фу́нкция
f
′
:
(
a
,
b
)
→
R
.
{\displaystyle f'\colon (a,b)\to \mathbb {R} .}
Функция, имеющая производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.
Если производная функция сама является непрерывной, то функцию
f
{\displaystyle f}
называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут:
f
∈
C
(
1
)
(
(
a
,
b
)
)
.
{\displaystyle f\in C^{(1)}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.}
Определять производную функции как скорость изменения функции в данной точке не всегда корректно, так как скорость - это изменение какой-то величины в зависимости от времени. Есть задачи, в которых некоторая величина изменяется не в течение времени, а в зависимости от другой величины. В криволинейной трапеции высота изменяется в зависимости от длины основания. Количество прореагировавшего вещества в химическом процессе зависит от концентрации реагентов и т.п. В этих случаях имеет смысл говорить о производной не как о скорости, а как о приросте величины в зависимости от другой величины.
Геометрический и физический смысл производной [ править | править код ]
Тангенс угла наклона касательной прямой [ править | править код ]
Геометрический смысл производной. На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0 ) . В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x . Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5 ). Расстояние Δx = x — x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 — C1 ). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x0 .
Если функция
f
:
U
(
x
0
)
→
R
{\displaystyle f\colon U(x_{0})\to \mathbb {R} }
имеет конечную производную в точке
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
то в окрестности
U
(
x
0
)
{\displaystyle U(x_{0})}
её можно приблизить линейной функцией
f
l
(
x
)
≡
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
.
{\displaystyle f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}
Функция
f
l
{\displaystyle f_{l}}
называется касательной к
f
{\displaystyle f}
в точке
x
0
.
{\displaystyle x_{0}.}
Число
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Тангенс можно рассматривать как масштабирующий коэффициент или коэффициент сравнения: насколько изменение единицы измерения ординаты больше изменения единицы измерения абсциссы. Если тангенс равен 1, то изменения единиц измерения равны.
Изначально тангенс является безразмерной величиной (длина противолежащего катета ∕ длина прилежащего катета, м ∕ м), но применительно к вычислению производной может иметь размерность, например, скорость тела есть путь ∕ время, т. е. м ∕ с.
Пусть
s
=
s
(
t
)
{\displaystyle s=s(t)}
— закон прямолинейного движения . Тогда
v
(
t
0
)
=
s
′
(
t
0
)
{\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})}
выражает мгновенную скорость движения в момент времени
t
0
{\displaystyle t_{0}}
. Новая функция
s
′
(
t
)
{\displaystyle s'(t)}
также имеет производную. Эта т. н. вторая производная, обозначается как
s
″
(
t
)
{\displaystyle s''(t)}
, а функция
a
(
t
0
)
=
s
″
(
t
0
)
{\displaystyle a(t_{0})=s''(t_{0})}
выражает мгновенное ускорение в момент времени
t
0
.
{\displaystyle t_{0}.}
Вообще производная функции
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
выражает скорость изменения функции в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, то есть скорость протекания процесса , описанного зависимостью
y
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle y=f(x).}
При описании процессов и в теории управления производную рассматривают как реакцию процесса (функции) на управляющий этим процессом параметр (независимое переменное); насколько интенсивно реагирует процесс на управляющий сигнал (насколько он чувствителен к нему); какое изменение процесса вызывает небольшое изменение управляющего воздействия.
В геометрических задачах производная рассматривается как изменение высоты криволинейной трапеции на малом участке ее основания (криволинейную трапецию можно рассматривать как прямоугольник с переменной высотой); изменение радиуса фигуры вращения на малом участке ее оси вращения (фигура вращения рассматривается как цилиндр с переменным радиусом) и т. п.
Производную можно использовать как предиктор (устройство или метод, предсказывающий будущее процесса). Например, если спрос на продукцию растет, то прирост спроса положительный, в будущем потребность в продукции будет только расти и имеет смысл расширять производство. Если спрос на продукцию падает, то прирост спроса отрицательный и в будущем продукция станет не востребована. Имеет смысл закрывать или перепрофилировать производство.
Анимация, дающая первоначальное интуитивное представление о производной, как о «размахе» изменения функции при изменении аргумента (нажмите для воспроизведения).
Понятие производной произвольного порядка задаётся рекуррентно . Полагаем
f
(
0
)
(
x
0
)
≡
f
(
x
0
)
.
{\displaystyle f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).}
Если функция
f
{\displaystyle f}
дифференцируема в
x
0
{\displaystyle x_{0}}
, то производная первого порядка определяется соотношением
f
(
1
)
(
x
0
)
≡
f
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).}
Пусть теперь производная
n
{\displaystyle n}
-го порядка
f
(
n
)
{\displaystyle f^{(n)}}
определена в некоторой окрестности точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
и дифференцируема. Тогда
f
(
n
+
1
)
(
x
0
)
=
(
f
(
n
)
)
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).}
В частности, вторая производная является производной от производной:
f
″
(
x
0
)
=
(
f
′
(
x
)
)
′
|
x
=
x
0
{\displaystyle f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}}
.
Если функция
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u=f(x,y,z)}
имеет в некоторой области D частную производную по одной из переменных, то названная производная, сама являясь функцией от
x
,
y
,
z
,
{\displaystyle x,y,z,}
может иметь в некоторой точке
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}
частные производные по той же или по любой другой переменной.
Для исходной функции
u
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle u=f(x,y,z)}
эти производные будут частными производными второго порядка (или вторыми частными производными).
u
x
2
″
=
f
x
2
″
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})}
или
∂
2
u
∂
x
2
=
∂
2
f
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∂
x
2
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}}
u
x
y
″
=
f
x
y
″
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}
или
∂
2
u
∂
x
∂
y
=
∂
2
f
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∂
x
∂
y
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}}
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной . Например,
u
x
y
″
=
f
x
y
″
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
{\displaystyle u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})}
Класс функций, у которых производная
n
{\displaystyle n}
-порядка является непрерывной, обозначается как
C
(
n
)
{\displaystyle C^{(n)}}
.
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана в нотациях:
Лагранжа
f
(
n
)
(
x
0
)
{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})}
, при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры :
f
(
1
)
(
x
0
)
=
f
′
(
x
0
)
=
f
I
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),}
f
(
2
)
(
x
0
)
=
f
″
(
x
0
)
=
f
I
I
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(2)}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{II}(x_{0}),}
f
(
3
)
(
x
0
)
=
f
‴
(
x
0
)
=
f
I
I
I
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(3)}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{III}(x_{0}),}
f
(
4
)
(
x
0
)
=
f
I
V
(
x
0
)
,
{\displaystyle f^{(4)}(x_{0})=f^{IV}(x_{0}),}
и т. д.
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
Лейбница , удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если
x
{\displaystyle x}
— независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
d
n
f
d
x
n
(
x
0
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})}
Ньютона , которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
x
˙
(
t
0
)
{\displaystyle {\dot {x}}(t_{0})}
— производная первого порядка
x
{\displaystyle x}
по
t
{\displaystyle t}
при
t
=
t
0
{\displaystyle t=t_{0}}
, или
f
¨
(
x
0
)
{\displaystyle {\ddot {f}}(x_{0})}
— вторая производная
f
{\displaystyle f}
по
x
{\displaystyle x}
в точке
x
0
{\displaystyle x_{0}}
и т. д.
D
n
f
(
x
0
)
{\displaystyle \mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})}
, или иногда
∂
n
f
(
x
0
)
{\displaystyle \partial ^{n}\!f(x_{0})}
.
В вариационном исчислении и математической физике часто применяется обозначение
f
x
{\displaystyle f_{x}}
,
f
x
x
{\displaystyle f_{xx}}
; для значения производной в точке —
f
x
|
x
=
x
0
{\displaystyle f_{x}\vert _{x=x_{0}}}
. Для частных производных обозначение то же, поэтому смысл обозначения определяют из контекста.
Конечно, при этом необходимо не забывать, что служат все они для обозначения одних и тех же объектов:
f
(
n
)
(
x
0
)
=
d
n
f
d
x
n
(
x
0
)
=
f
⋅
⋅
…
⋅
⏞
n
раз
(
x
0
)
=
D
n
f
(
x
0
)
=
f
x
x
…
x
⏟
n
раз
|
x
=
x
0
.
{\displaystyle f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})={\overset {\overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{раз}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{раз}}}}\vert _{x=x_{0}}.}
Пусть
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
. Тогда
f
′
(
x
0
)
=
lim
x
→
x
0
x
2
−
x
0
2
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
(
x
−
x
0
)
(
x
+
x
0
)
x
−
x
0
=
lim
x
→
x
0
(
x
+
x
0
)
=
2
x
0
.
{\displaystyle f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.}
Пусть
f
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle f(x)=|x|}
. Тогда если
x
0
≠
0
,
{\displaystyle x_{0}\neq 0,}
то
f
′
(
x
0
)
=
sgn
x
0
,
{\displaystyle f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},}
где
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
обозначает функцию знака . А если
x
0
=
0
,
{\displaystyle x_{0}=0,}
то
f
+
′
(
x
0
)
=
1
,
f
−
′
(
x
0
)
=
−
1
,
{\displaystyle f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,}
а следовательно
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle f'(x_{0})}
не существует.
Теоремы, связанные с дифференцированием [ править | править код ]
Для непрерывных функций
f
,
g
{\displaystyle f,g}
на отрезке
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, дифференцируемых на интервале
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
справедливы:
Лемма Ферма . Если
f
{\displaystyle f}
принимает максимальное или минимальное значение в точке
c
{\displaystyle c}
и существует
f
′
(
c
)
{\displaystyle f'(c)}
, то
f
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle f'(c)=0}
.
Теорема о нуле производной . Если
f
{\displaystyle f}
принимает на концах отрезка
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
одинаковые значения, то на интервале
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Формула конечных приращений . Для
f
{\displaystyle f}
найдётся точка
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
, такая что
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
f
′
(
c
)
{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)}
.
Теорема Коши о среднем значении . Если
g
′
{\displaystyle g'}
не равна нулю на интервале
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, то найдётся такая точка
c
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle c\in (a,b)}
, что
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
=
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
{\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}
.
Правило Лопиталя . Если
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
или
∞
{\displaystyle \infty }
, причём
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x)\neq 0}
для всякого
x
{\displaystyle x}
из некоторой проколотой окрестности
c
{\displaystyle c}
и существует
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
, то
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
.
Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если
C
{\displaystyle C}
— постоянное число и
f
=
f
(
x
)
,
g
=
g
(
x
)
{\displaystyle f=f(x),g=g(x)}
— некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
C
′
=
0
{\displaystyle C'=0}
x
′
=
1
{\displaystyle x'=1}
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle \left(f+g\right)'=f'+g'}
[3]
y
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle y(x)=f(x)+g(x)}
y
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
y
(
x
+
Δ
x
)
−
y
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
(
f
(
x
+
Δ
x
)
+
g
(
x
+
Δ
x
)
)
−
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x))}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
(
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
+
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
)
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}})}=}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
+
lim
Δ
x
→
0
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}=}
=
f
′
(
x
)
+
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(x)+g'(x)}
■
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}
[4]
y
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y(x)=f(x)g(x)}
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Δ
g
(
x
)
=
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle \Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)}
y
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
y
(
x
+
Δ
x
)
−
y
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
(
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
)
(
g
(
x
)
+
Δ
g
(
x
)
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x)g(x)}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
g
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+\Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
(
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
Δ
x
+
g
(
x
)
Δ
f
(
x
)
Δ
x
+
Δ
g
(
x
)
Δ
f
(
x
)
Δ
x
)
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}}+g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}})=}
=
f
(
x
)
g
′
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
+
0
f
′
(
x
)
=
{\displaystyle =f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=}
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
■
(
C
f
)
′
=
C
f
′
{\displaystyle \left(Cf\right)'=Cf'}
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}
…(g ≠ 0)
y
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Δ
g
(
x
)
=
g
(
x
+
Δ
x
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle \Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)}
y
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
y
(
x
+
Δ
x
)
−
y
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{\Delta x}}=}
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
+
Δ
x
)
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)g(x)\Delta x}}=}
=
1
g
2
(
x
)
lim
Δ
x
→
0
(
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
(
g
(
x
)
+
Δ
g
(
x
)
)
Δ
x
=
{\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g(x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=}
=
1
g
2
(
x
)
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
g
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
Δ
x
=
{\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x}}=}
=
1
g
2
(
x
)
lim
Δ
x
→
0
(
g
(
x
)
Δ
f
(
x
)
Δ
x
−
f
(
x
)
Δ
g
(
x
)
Δ
x
)
=
{\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x}})}=}
=
1
g
2
(
x
)
(
g
(
x
)
f
′
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
)
=
{\displaystyle ={\frac {1}{g^{2}(x)}}(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=}
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
2
(
x
)
{\displaystyle ={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}}
■
(
C
g
)
′
=
−
C
g
′
g
2
{\displaystyle \left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}}
(g ≠ 0)
Если функция задана параметрически:
{
x
=
x
(
t
)
,
y
=
y
(
t
)
,
t
∈
[
T
1
;
T
2
]
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.}
, то
y
x
′
=
d
y
d
x
=
d
y
d
t
⋅
d
t
d
x
=
y
t
′
⋅
t
x
′
=
y
t
′
x
t
′
{\displaystyle y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}}
d
d
x
f
(
g
(
x
)
)
=
d
f
(
g
)
d
g
⋅
d
g
(
x
)
d
x
=
f
g
′
g
x
′
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}}
Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница ):
(
f
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
C
n
k
f
(
n
−
k
)
g
(
k
)
,
{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}
где
C
n
k
{\displaystyle C_{n}^{k}}
— биномиальные коэффициенты .
Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:
если функция дифференцируема на интервале
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
, то она непрерывна на интервале
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
. Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция
y
(
x
)
=
|
x
|
{\displaystyle y(x)=|x|}
на
[
−
1
,
1
]
{\displaystyle [-1,1]}
);
если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном
x
{\displaystyle x}
, то
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle f'(x)=0}
(это так называемая лемма Ферма );
производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
(
x
)
g
(
x
)
(
g
′
(
x
)
ln
f
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
(
∀
x
∈
D
f
:
f
(
x
)
>
0
)
{\displaystyle (f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)}
y
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)^{g(x)}}
ln
y
=
g
(
x
)
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \ln y=g(x)\ln f(x)}
y
′
y
=
g
′
(
x
)
ln
f
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}}
y
′
=
y
(
g
′
(
x
)
ln
f
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)}
y
′
=
f
(
x
)
g
(
x
)
(
g
′
(
x
)
ln
f
(
x
)
+
g
(
x
)
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle y'=f(x)^{g(x)}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}})}
■
Таблица производных некоторых функций [ править | править код ]
Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Производная
f
′
(
x
)
{\displaystyle f'(x)}
Примечание
x
α
{\displaystyle x^{\alpha }}
α
⋅
x
α
−
1
{\displaystyle \alpha \cdot x^{\alpha -1}}
Фиксируем
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}
, придадим приращение аргументу
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
. Вычислим приращение функции:
Δ
y
=
(
x
+
Δ
x
)
α
−
x
α
=
x
α
(
(
1
+
Δ
x
x
)
α
−
1
)
{\displaystyle \Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}
, т.о
(
x
α
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
x
α
(
(
1
+
Δ
x
x
)
α
−
1
)
Δ
x
=
{\displaystyle (x^{\alpha })'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x}})^{\alpha }-1)}{\Delta x}}=}
См.
=
lim
Δ
x
→
0
α
⋅
x
α
⋅
Δ
x
x
Δ
x
=
α
⋅
x
α
−
1
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x}}}{\Delta x}}=\alpha \cdot x^{\alpha -1}}
a
x
{\displaystyle a^{x}}
a
x
⋅
ln
a
{\displaystyle a^{x}\cdot \ln {a}}
Фиксируем
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}
, придадим приращение аргументу
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
. Вычислим приращение функции:
Δ
y
=
a
x
+
Δ
x
−
a
x
=
a
x
(
a
Δ
x
−
1
)
{\displaystyle \Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)}
, т.о
(
a
x
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
a
x
(
a
Δ
x
−
1
)
Δ
x
=
{\displaystyle (a^{x})'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=}
См.
=
lim
Δ
x
→
0
a
x
⋅
Δ
x
⋅
ln
a
Δ
x
=
a
x
⋅
ln
a
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}}
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}{x}}
1
x
⋅
ln
a
{\displaystyle {\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}
(
log
a
x
)
′
=
1
ln
a
⋅
(
ln
x
)
′
{\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a}}}\cdot (\ln {x})'}
Узнаем производную
ln
x
{\displaystyle \ln {x}}
через производную обратной функции :
y
x
=
ln
x
⇒
x
y
=
e
y
,
{\displaystyle y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},}
y
x
′
=
(
ln
x
)
′
=
1
(
e
y
)
′
=
1
e
y
=
1
x
{\displaystyle y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}}
Получаем:
(
log
a
x
)
′
=
1
x
⋅
ln
a
{\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
Фиксируем
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}
, придадим приращение аргументу
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
. Вычислим приращение функции:
Δ
y
=
s
i
n
(
x
+
Δ
x
)
−
s
i
n
(
x
)
=
2
s
i
n
(
x
+
Δ
x
−
x
2
)
⋅
c
o
s
(
x
+
Δ
+
x
2
)
=
2
s
i
n
(
Δ
x
2
)
⋅
c
o
s
(
x
+
Δ
x
2
)
{\displaystyle \Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta x-x}{2}})\cdot cos({\frac {x+\Delta +x}{2}})=2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}
, т.о
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
2
s
i
n
(
Δ
x
2
)
⋅
c
o
s
(
x
+
Δ
x
2
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
s
i
n
(
Δ
x
2
)
⋅
c
o
s
(
x
+
Δ
x
2
)
Δ
x
2
=
lim
Δ
x
→
0
s
i
n
(
Δ
x
2
)
Δ
x
2
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}}
( См. )
⋅
lim
Δ
x
→
0
c
o
s
(
x
+
Δ
x
2
)
=
c
o
s
(
x
)
{\displaystyle \cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=cos(x)}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
Фиксируем
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}
, придадим приращение аргументу
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
. Вычислим приращение функции:
Δ
y
=
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
−
c
o
s
(
x
)
=
−
2
s
i
n
(
x
+
Δ
x
+
x
2
)
⋅
s
i
n
(
x
+
Δ
−
x
2
)
=
−
2
s
i
n
(
x
+
Δ
x
2
)
⋅
s
i
n
(
Δ
x
2
)
{\displaystyle \Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2}})\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2}})=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}
, т.о
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
→
0
−
2
s
i
n
(
x
+
Δ
x
2
)
⋅
s
i
n
(
Δ
x
2
)
Δ
x
=
lim
Δ
→
0
−
s
i
n
(
x
+
Δ
x
2
)
⋅
s
i
n
(
Δ
x
2
)
Δ
x
2
=
lim
Δ
x
→
0
s
i
n
(
Δ
x
2
)
Δ
x
2
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})\cdot sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}}
( См. )
⋅
lim
Δ
x
→
0
−
s
i
n
(
x
+
Δ
x
2
)
=
−
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle \cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})}=-sin(x)}
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {tg} \ x}
1
cos
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}}
Фиксируем
x
∈
D
(
f
)
{\displaystyle x\in \mathbb {D} (f)}
, придадим приращение аргументу
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
. Вычислим приращение функции:
Δ
y
=
t
g
(
x
+
Δ
x
)
−
t
g
(
x
)
=
s
i
n
(
x
+
Δ
x
−
x
)
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
⋅
c
o
s
(
x
)
=
s
i
n
(
Δ
x
)
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
⋅
c
o
s
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}}
, т.о.
lim
x
→
0
Δ
y
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
s
i
n
(
Δ
x
)
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
⋅
c
o
s
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
s
i
n
(
Δ
x
)
Δ
x
⋅
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot }
( См. )
lim
Δ
x
→
0
1
c
o
s
(
x
+
Δ
x
)
⋅
c
o
s
(
x
)
=
1
c
o
s
2
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}}
(
t
g
x
)
′
=
(
s
i
n
(
x
)
c
o
s
(
x
)
)
′
=
(
s
i
n
(
x
)
)
′
⋅
c
o
s
(
x
)
−
s
i
n
(
x
)
⋅
(
c
o
s
(
x
)
)
′
c
o
s
2
(
x
)
=
c
o
s
(
x
)
⋅
c
o
s
(
x
)
−
s
i
n
(
x
)
⋅
(
−
s
i
n
(
x
)
)
c
o
s
2
(
x
)
=
c
o
s
2
(
x
)
+
s
i
n
2
(
x
)
c
o
s
2
(
x
)
=
1
c
o
s
2
(
x
)
{\displaystyle (tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x)}})'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x))}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)}}={\frac {1}{cos^{2}(x)}}}
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {ctg} \ x}
−
1
sin
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}}
(
c
t
g
x
)
′
=
(
c
o
s
(
x
)
s
i
n
(
x
)
)
′
=
(
c
o
s
(
x
)
)
′
⋅
s
i
n
(
x
)
−
c
o
s
(
x
)
⋅
(
s
i
n
(
x
)
)
′
s
i
n
2
(
x
)
=
−
s
i
n
(
x
)
⋅
s
i
n
(
x
)
+
c
o
s
(
x
)
⋅
c
o
s
(
x
)
s
i
n
2
(
x
)
=
−
s
i
n
2
(
x
)
+
c
o
s
2
(
x
)
s
i
n
2
(
x
)
=
−
1
s
i
n
2
(
x
)
{\displaystyle (ctgx)'=({\frac {cos(x)}{sin(x)}})'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x)\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}}
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {sec} \ x}
s
e
c
x
⋅
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {sec} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x}
(
s
e
c
(
x
)
)
′
=
(
1
c
o
s
(
x
)
)
′
=
(
1
)
′
⋅
c
o
s
(
x
)
−
1
⋅
(
c
o
s
(
x
)
)
′
c
o
s
2
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
c
o
s
2
(
x
)
=
s
e
c
(
x
)
⋅
t
g
(
x
)
{\displaystyle (sec(x))'=({\frac {1}{cos(x)}})'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)}
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {cosec} \ x}
−
c
o
s
e
c
x
⋅
c
t
g
x
{\displaystyle -\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x}
(
c
o
s
e
c
(
x
)
)
′
=
(
1
s
i
n
(
x
)
)
′
=
(
1
)
′
⋅
s
i
n
(
x
)
−
1
⋅
(
s
i
n
(
x
)
)
′
s
i
n
2
(
x
)
=
−
c
o
s
(
x
)
s
i
n
2
(
x
)
=
−
c
o
s
e
s
(
x
)
⋅
c
t
g
(
x
)
{\displaystyle (cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)}
arcsin
x
{\displaystyle \arcsin {x}}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arccos
x
{\displaystyle \arccos {x}}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
a
r
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arctg} \ x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
a
r
c
c
t
g
x
{\displaystyle \mathrm {arcctg} \ x}
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{1+x^{2}}}}
a
r
c
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {arcsec} \ x}
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
Найти производную арксеканса можно при помощи тождества:
a
r
c
s
e
c
(
x
)
=
a
r
c
c
o
s
(
1
x
)
{\displaystyle arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x}})}
Теперь находим производную обеих частей этого тождества.
(
a
r
c
s
e
c
(
x
)
)
′
=
(
a
r
c
c
o
s
(
1
x
)
)
′
{\displaystyle (arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x}}))'}
(
a
r
c
s
e
c
(
x
)
)
′
=
−
1
1
−
1
x
2
⋅
(
−
1
x
2
)
{\displaystyle (arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}\cdot (-{\frac {1}{x^{2}}})}
(
a
r
c
s
e
c
(
x
)
)
′
=
1
x
2
x
2
−
1
x
2
{\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2}}}}}}}
(
a
r
c
s
e
c
(
x
)
)
′
=
1
x
2
x
2
−
1
|
x
|
{\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}}}
Получается.
(
a
r
c
s
e
c
(
x
)
)
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle (arcsec(x))'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
a
r
c
c
o
s
e
c
x
{\displaystyle \mathrm {arccosec} \ x}
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
s
h
x
{\displaystyle \mathrm {sh} \ x}
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {ch} \ x}
(
sh
x
)
′
=
(
e
x
−
e
−
x
2
)
′
=
1
2
⋅
(
e
x
−
e
−
x
)
′
=
1
2
⋅
(
e
x
−
(
−
1
)
⋅
e
−
x
)
=
e
x
+
e
−
x
2
=
ch
x
{\displaystyle (\operatorname {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{-x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operatorname {ch} {x}}
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {ch} \ x}
s
h
x
{\displaystyle \mathrm {sh} \ x}
(
ch
x
)
′
=
(
e
x
+
e
−
x
2
)
′
=
1
2
⋅
(
e
x
+
e
−
x
)
′
=
1
2
⋅
(
e
x
+
(
−
1
)
⋅
e
−
x
)
=
(
e
x
−
e
−
x
2
)
=
sh
x
{\displaystyle (\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{-x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operatorname {sh} {x}}
t
h
x
{\displaystyle \mathrm {th} \ x}
1
c
h
2
x
{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}}
(
t
h
(
x
)
)
′
=
(
s
h
(
x
)
c
h
(
x
)
)
′
=
(
s
h
(
x
)
)
′
⋅
c
h
(
x
)
−
s
h
(
x
)
⋅
(
c
h
(
x
)
)
′
c
h
2
(
x
)
=
c
h
(
x
)
⋅
c
h
(
x
)
−
s
h
(
x
)
⋅
s
h
(
x
)
c
h
2
(
x
)
=
c
h
2
(
x
)
−
s
h
2
(
x
)
c
h
2
(
x
)
=
1
c
h
2
(
x
)
{\displaystyle (th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x)}})'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh(x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)}}={\frac {1}{ch^{2}(x)}}}
c
t
h
x
{\displaystyle \mathrm {cth} \ x}
−
1
s
h
2
x
{\displaystyle -{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}}
(
c
t
h
x
)
′
=
(
c
h
(
x
)
s
h
(
x
)
)
′
=
(
c
h
(
x
)
)
′
⋅
s
h
(
x
)
−
c
h
(
x
)
⋅
(
s
h
(
x
)
)
′
s
h
2
(
x
)
=
s
h
(
x
)
⋅
s
h
(
x
)
−
c
h
(
x
)
⋅
c
h
(
x
)
s
h
2
(
x
)
=
s
h
2
(
x
)
−
c
h
2
(
x
)
s
h
2
(
x
)
=
−
1
s
h
2
(
x
)
{\displaystyle (cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x)}})'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x)\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {1}{sh^{2}(x)}}}
s
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {sch} \ x}
−
sh
(
x
)
ch
2
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\operatorname {ch} ^{2}(x)}}}
(
s
c
h
(
x
)
)
′
=
(
1
c
h
(
x
)
)
′
=
(
1
)
′
⋅
c
h
(
x
)
−
1
⋅
(
c
h
(
x
)
)
′
c
h
2
(
x
)
=
−
s
h
(
x
)
c
h
2
(
x
)
{\displaystyle (sch(x))'=({\frac {1}{ch(x)}})'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}}
c
s
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {csch} \ x}
−
ch
(
x
)
sh
2
(
x
)
{\displaystyle -{\frac {\operatorname {ch} (x)}{\operatorname {sh} ^{2}(x)}}}
(
c
s
c
h
(
x
)
)
′
=
(
1
s
h
(
x
)
)
′
=
(
1
)
′
⋅
s
h
(
x
)
−
1
⋅
(
s
h
(
x
)
)
′
s
h
2
(
x
)
=
−
c
h
(
x
)
s
h
2
(
x
)
{\displaystyle (csch(x))'=({\frac {1}{sh(x)}})'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}}
a
r
s
h
x
{\displaystyle \mathrm {arsh} \ x}
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
(
a
r
s
h
(
x
)
)
′
=
(
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
)
′
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
x
+
x
2
+
1
)
′
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
(
x
)
′
+
(
x
2
+
1
)
′
)
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
1
+
(
x
2
+
1
)
′
)
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
1
+
1
2
x
2
+
1
⋅
(
x
2
+
1
)
′
)
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
1
+
2
x
2
x
2
+
1
)
=
1
x
+
x
2
+
1
⋅
(
x
+
x
2
+
1
x
2
+
1
)
=
x
+
x
2
+
1
(
x
+
x
2
+
1
)
⋅
(
x
2
+
1
)
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}+1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
a
r
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {arch} \ x}
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
(
a
r
c
h
(
x
)
)
′
=
(
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
)
′
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
x
+
x
2
−
1
)
′
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
(
x
)
′
+
(
x
2
−
1
)
′
)
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
1
+
(
x
2
−
1
)
′
)
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
1
+
1
2
x
2
−
1
⋅
(
x
2
−
1
)
′
)
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
1
+
2
x
2
x
2
−
1
)
=
1
x
+
x
2
−
1
⋅
(
x
+
x
2
−
1
x
2
−
1
)
=
x
+
x
2
−
1
(
x
+
x
2
−
1
)
⋅
(
x
2
−
1
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1}})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}})={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}})={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2}-1}})}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
a
r
t
h
x
{\displaystyle \mathrm {arth} \ x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
(
a
r
t
h
x
)
′
=
(
1
2
⋅
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
)
′
=
1
2
⋅
1
−
x
1
+
x
⋅
(
1
+
x
1
−
x
)
′
=
1
2
⋅
1
−
x
1
+
x
⋅
(
1
+
x
)
′
(
1
−
x
)
−
(
1
+
x
)
(
1
−
x
)
′
(
1
−
x
)
2
=
1
2
⋅
1
−
x
1
+
x
⋅
2
(
1
−
x
)
2
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl (}{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}
a
r
c
t
h
x
{\displaystyle \mathrm {arcth} \ x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}}
(
a
r
c
t
h
x
)
′
=
(
1
2
⋅
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
)
′
=
1
2
⋅
x
−
1
x
+
1
⋅
(
x
+
1
x
−
1
)
′
=
1
2
⋅
x
−
1
x
+
1
⋅
(
x
+
1
)
′
(
x
−
1
)
−
(
x
+
1
)
(
x
−
1
)
′
(
x
−
1
)
2
=
1
2
⋅
x
−
1
x
+
1
⋅
−
2
(
x
−
1
)
2
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle ({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2}}\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl (}{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}
a
r
s
e
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {arsech} \ x}
−
1
x
(
x
+
1
)
1
−
x
1
+
x
{\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}
a
r
c
s
c
h
x
{\displaystyle \mathrm {arcsch} \ x}
−
1
x
(
x
+
1
)
1
+
1
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}
Производная вектор-функции по параметру [ править | править код ]
Определим производную вектор-функции
r
(
t
)
{\displaystyle \mathbf {r} (t)}
по параметру:
d
d
t
r
(
t
)
=
lim
h
→
0
r
(
t
+
h
)
−
r
(
t
)
h
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}}
.
Если производная в точке
t
{\displaystyle t}
существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут
x
′
(
t
)
,
y
′
(
t
)
,
z
′
(
t
)
{\displaystyle x'(t),\ y'(t),\ z'(t)}
.
Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):
d
d
t
(
r
1
(
t
)
+
r
2
(
t
)
)
=
d
r
1
(
t
)
d
t
+
d
r
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}
— производная суммы есть сумма производных.
d
d
t
(
f
(
t
)
r
(
t
)
)
=
d
f
(
t
)
d
t
r
(
t
)
+
f
(
t
)
d
r
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}
— здесь
f
(
t
)
{\displaystyle f(t)}
— дифференцируемая скалярная функция .
d
d
t
(
r
1
(
t
)
r
2
(
t
)
)
=
d
r
1
(
t
)
d
t
r
2
(
t
)
+
r
1
(
t
)
d
r
2
(
t
)
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}}
— дифференцирование скалярного произведения .
d
d
t
[
r
1
(
t
)
,
r
2
(
t
)
]
=
[
d
r
1
(
t
)
d
t
,
r
2
(
t
)
]
+
[
r
1
(
t
)
,
d
r
2
(
t
)
d
t
]
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]}
— дифференцирование векторного произведения .
d
d
t
(
a
(
t
)
,
b
(
t
)
,
c
(
t
)
)
=
(
d
a
(
t
)
d
t
,
b
(
t
)
,
c
(
t
)
)
+
(
a
(
t
)
,
d
b
(
t
)
d
t
,
c
(
t
)
)
+
(
a
(
t
)
,
b
(
t
)
,
d
c
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)}
— дифференцирование смешанного произведения .
D
x
q
f
(
x
)
=
f
(
q
x
)
−
f
(
x
)
(
q
−
1
)
x
.
{\displaystyle D_{x}^{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.}
↑ Колмогоров А. Н. , Абрамов А. М. , Дудницын Ю. П. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы. — М., Просвещение, 1994. — ISBN 5-09-006088-6 . — C. 155—156
↑ Комков Г. Д. , Левшин Б. В., Семенов Л. К. Академия наук СССР. Краткий исторический очерк (в двух томах). — 2-е изд. — М. : Наука , 1977. — Т. 1. 1724—1917. — С. 173.
↑ Производная суммы равна сумме производных
↑ Отсюда, в частности, следует, что производная произведения функции и константы равна произведению производной этой функции на константу
↑ A.I. Olemskoi, S.S. Borysov,a, and I.A. Shuda. Statistical field theories deformed within different calculi (неопр.) . Дата обращения: 21 апреля 2014. Архивировано 21 сентября 2017 года.
Виленкин Н., Мордкович А. Что такое производная // Квант. — 1975. — № 12 .
В. Г. Болтянский , Что такое дифференцирование?, «Популярные лекции по математике », Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.
В. А. Гусев , А. Г. Мордкович «Математика»
Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления », том 1
В. М. Бородихин , Высшая математика , учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1
Ссылки на внешние ресурсы
Словари и энциклопедии В библиографических каталогах