Разрешимая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения

[править | править код]

Разрешимая группа — группа , такая что убывающий ряд

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если  — нормальная подгруппа в , разрешима и факторгруппа разрешима, то разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп , такая что является нормальной подгруппой , и  — абелева группа.

  • Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
  • Симметрическая группа является разрешимой тогда и только тогда, когда .
  • Группа невырожденных верхних треугольных матриц разрешима.
  • Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
  • Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа порядка 60.

Примечания

[править | править код]
  1. Rotman, 1995, p. 102.

Литература

[править | править код]
  • Rotman, Joseph J. An introduction to the theory of groups. — 4th ed. — Springer, 1995. — Т. 148. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 978-0-387-94285-8.
  • Мальцев А. И. Обобщённо нильпотентные алгебры и их присоединенные группы // Математический сборник . — 1949. — Т. 25, №  3. — С. 347—366.
  • Порядки неразрешимых групп — последовательность A056866 в OEIS