Серебряное сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Иррациональные числа
ζ(3) — ρ — 2 — 3 — 5ln 2φ,Φ — ψα,δ — eeπ и π
Система счисления Оценка числа δs
Двоичная 10.0110101000001001111…
Десятичная 2.4142135623730950488…
Шестнадцатеричная 2.6A09E667F3BCC908B2F…
Непрерывная дробь

Сере́бряное сече́ние — математическая константа, выражающая некоторое геометрическое соотношение, выделяемое эстетически. В отличие от золотого сечения, по аллюзии с которым оно названо, серебряное сечение не имеет единого определения. Наиболее последовательным является следующее:

  1. Две величины находятся в «серебряном сечении», если отношение суммы меньшей и удвоенной большей величины к большей равно отношению большей величины к меньшей:
, где a - большее число, b - меньшее число.
  1. Серебряное сечение — иррациональное (но алгебраическое) число, равное или приблизительно 2,4142135623. Для использования в процентном делении используется отношение, близкое к этому числу, — 70/29.

В последнее время некоторые художники и архитекторы считают это отношение «красивым». Возможно, они опираются на теорию динамических прямоугольников[англ.] Джея Хембриджа[англ.]. Математики исследовали серебряное соотношение со времён древнегреческой науки (хотя такое название, возможно, появилось только недавно), так как оно связано с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами, числами Пелля, восьмиугольником и др.

Обозначим далее серебряное сечение через (общепринятого обозначения нет). Соотношение, описанное в определении выше, записывается алгебраически так:

Это уравнение имеет единственный положительный корень.

Геометрическое доказательство, что корень из двух — иррационален .
  • . Это следует из
  •  — в виде цепной дроби:

подходящие дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) являются отношениями последовательных чисел Пелля. Эти дроби дают хорошие рациональные аппроксимации серебряного сечения, аналогично тому, что золотое сечение приближается отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

В виде бесконечных вложенных радикалов:

  • .
  • .

Другие определения

[править | править код]

Встречаются и другие определения серебряного сечения.

Например, отталкиваясь от определения золотого сечения через цепную дробь, серебряными называют любые цепные дроби, в которых знаменатели постоянны:

.

Литература

[править | править код]
  • Аракелян Г. Б. Числа и величины в современной физике. Ереван: Изд. АН, 1989, 300 с. — С. 90-95, 252.

Примечания

[править | править код]
  1. The Square Root of Two, to 5 million digits. Дата обращения: 16 февраля 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.