Теорема Стокса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

[править | править код]

Пусть на ориентируемом многообразии размерности заданы положительно ориентированное ограниченное -мерное подмногообразие () и дифференциальная форма степени класса . Тогда если граница подмногообразия положительно ориентирована, то

где обозначает внешний дифференциал формы .

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия .

Частные случаи

[править | править код]

Пусть дана кривая (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки к точке , в многообразии произвольной размерности. Форма нулевой степени класса  — это дифференцируемая функция . Тогда формула Стокса записывается в виде

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть  — плоскость, а  — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах и  — это выражение Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области верно

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

[править | править код]

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть  — кусочно-гладкая поверхность () в трёхмерном евклидовом пространстве (),  — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность , ограниченную контуром:

или в координатной записи:

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Пусть теперь  — кусочно-гладкая гиперповерхность (), ограничивающая некоторую область в -мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области :

В трёхмерном пространстве с координатами это эквивалентно записи:

или

Литература

[править | править код]